دسته بندی کردن به ویژه ساختن دسته های مساوی قابلیت تقسیم ، از مفاهیم با کاربرد در زندگی روزمره اند. وقتی سرباز هادر دسته های منظم شده رژه قرار دارند، تعداد آنها باید بر تعداد ردیف ها و ستون ها قابل قسمت باشد



ما در این درس یاد میگیریم که:

اعداد اول چی هستند ؟

شمارنده اول چی هست ؟

بزرگترین شمارنده بزرگ و کوچک ترین مضرب مشترک یعنی چه و چطوری آنها را بدست بیاوریم.





اول از همه بریم سراغ شمارنده های اول .



نکته ): شمارنده های اول اعدادی هستند که تنها دو شمارنده داشته باشند .

بیاید با یه مثال براتون توضیح بدم

سوال 1 ) شمارنده های عدد 7 را بنویسید .

نکته ): شمارنده باید اعدادی باشند که با عدد بخش پذیر (قابل تقسیم ) باشند .

شمارنده عدد 7 = 1 و 7

نکته):کوچک ترین عدد شمارنده عدد 1 است .

نکته): عدد یک نه مرکب است نه اول .

اعداد مرکب : به عدد هایی که شمارنده های آنها از دو تا بیشتر باشد عدد مرکب میباشد .

ولی عدد 1 نه مرکب و نه اوله چون فقط یک شمارنده داره که آن شمارنه خود عدد یک است .

حالا که با شمارنده ها و اعداد اول و مرکب آشنا شدید بیایید یک سوال حل کنیم .

سوال 1) شمارنده عددها را بنویسید که کدام مرکب و کدام اول است .

24 – 12 – 8 – 6 – 4 – 3 – 2 - 1 = 24 عدد مرکب

13 – 1 = 13 عدد اول





تجزیه اعداد : برای به دست آوردن شمارنده های اول یک عدد آن را تجزیه می کنیم.

۱_نکته:هیچگاه در فرایند تجزیه نمی‌توان یک عدد اول را تجزیه کرد.

۲_:در فرآیند تجزیه امکان استفاده از عدد یک وجود ندارد،زیرا عدد ۱نه مرکب و نه عدد اول



نکته : یکی از روش های تجزیه (نمودار درختی) است که در این روش برای هر عدد یک ضرب بزرگتر از یک نوشته تا وقتی که دیگر نتوان برای عدد یک ضرب نوشت نمودار ادامه پیدا می کند.

نکته : =عدادی که نتوان برای آن ها ضربی نوشت جزو شمارنده های اول آن عدد است.
مثال : شمارند های اول اعداد 12 و 25 و 30 را از روش نمودار درختی به دست آورید.

بزرگ ترین شمارنده ی مشترک (ب.م.م) : بزرگ ترین شمارنده ی مشترک دو عدد a و b یعنی بزرگ ترین عددی که هم a و هم b بر آن بخش پذیر باشند.

نکته : بزرگ ترین شمارنده ی مشترک دو عدد a و b را به صورت (a و b) نشان می دهند. مثال : بزرگترین شمارنده مشترک (ب . م .م) دو عدد 12 و 30 را از روش نوشتن شمارنده ها به دست آورید.

{ 6 و 3 و 2 و 1} = 30 و 12 مشترک {30 و 15 و 10 و 6 و 5 و 3 و 2 و 1} = 30 شمارنده

{ 12 و 6 و 4 و 3 و 2 و 1} = 12 شمارنده

6 = (30 و 12) پرانتز نشانه (ب.م.م) دو عدد است

روش به دست آوردن بزرگترین شمارنده مشترک دو عدد (از روش تجزیه) : مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :

1) دو عدد را تجزیه می کنیم

2) دو عدد را به صورت ضرب شمارنده های اول می نویسیم

3) عدد های مشترک با کمترین تکرار را در هم ضرب می کنیم

مثال : بزرگترین شمارنده مشترک دو عدد 48 و 20 را از روش تجزیه به دست آورید.

نکته : برای ساده کردن کسرها می توان صورت و مخرج را بر (ب.م.م) اعداد تقسیم کرد

مضرب های طبیعی یک عدد : اگر یک عدد را به ترتیب در اعداد طبیعی ضرب کنیم مضارب آن عدد به دست می آید.

مثال : مضارب طبیعی اعداد 8 و 15 را بنویسید.

{ ... و60 و 45 و 30 و 15} = 15 مضارب { ... و 32 و 24 و 16 و 8} = 8 مضارب

نکته : اولین مضرب طبیعی هر عدد خودعدد و آخرین مضرب آن مشخص نیست.

مثال : الف( هفتمین مضرب عدد 12 چند است؟ 84 = 12 * 7 ب( آیا 142 مضرب عدد 3 است؟ چرا؟

خیر . چون اگر 142 را بر 3 تقسیم کنیم باقیمانده تقسیم صفر نمی شود.

( سه مضرب مشترک 5 و 7 را بنویسید؟ { 105 و 70 و 35}



کوچک ترین شمارنده ی مشترک {ک .م.م} : کوچک ترین شمارنده ی مشترک دو عدد a و b یعنی کوچک ترین عددی مانند c که هم بر a و هم بر b بر آن بخش پذیر باشند. نکته : کوچک ترین شمارنده ی مشترک دو عدد a و b را به صورت [a و b] نشان می دهند.





مثال کوچکترین مضرب مشترک {ک .م .م} دو عدد 6 و 15 را از روش نوشتن مضرب های دو عدد به دست آورید.

{ ... و 60 و 45 و 30 و 15} = 15 مضارب { ... و60 و 54 و 48 و 42 و 36 و 30 و 24 و 18 و 12 و 6} = 6 مضارب

{ ... و 90 و 60 و 30} = 15 و 6 مشترک 30 = [15 و 6]



روش به دست آوردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد (ازروش تجزیه) : مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :

1( دو عدد را تجزیه می کنیم

2( دو عدد را به صورت ضرب شمارنده های اول می نویسیم

3( عدد های مشترک با بیشترین تکرار و عددهای غیر مشترک را در هم ضرب می کنیم



مثال : کوچکترین مضرب مشترک دو عدد 60 و 72 را از روش تجزیه به دست آورید

60 = 2 * 2 * 3 * 5 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 360 = 5 * 3 * 3 * 2 * 2 * 2 = [72 و 60]



نکاتی درباره {ک .م.م} اعداد :

1) از {ک.م.م} اعداد برای مخرج مشترک کسرها استفاده می شود.

2){ ک.م.م} هر عدد با یک برابر با خود عدد است : 12 = [1و 12]

3) {ک.م.م} هر عدد با خودش همان عدد می شود : 15 = [15 و 15]

4){ ک.م.م} دو عدد اول مختلف برابر با حاصل ضرب آن دو م ی شود : 65 = 13 * 5 = [13 و 5]

5) اگر دو عدد بر هم بخش پذیر باشند )ک.م.م( آن دو عدد برابر با عدد بزرگتر می شود : 18 = [18 و 6]

6){ک.م.م} دو عدد متوالی (پشت سر هم) با حاصل ضرب دو عدد برابر است : 72 = (9 و 8)

نکته: (ک.م.م) دو عدد را می توان با استفاده از (ب.م.م) دو عدد نیز به دست آورد :

{ک.م.م}= حاصل ضرب دو عدد تقسیم بر (ب.م.م)